谈谈假设检验

假设检验属于推断统计，是在给定样本容量和置信水平的条件下，判断某个假设是否成立的一种统计方法。

假设检验需要证明某个假设是否成立的场景。例如：

• 现实生活中，证明两批次牛奶的质量相同
• 机器学习中，证明某个模型的比另一个模型更好

应用假设检验有如下前提:

• 给出置信水平
• 确定样本容量
• 确定检验统计量

应用假设检验的步骤如下:

1. 提出原假设(零假设)H0和备择假设H1
2. 给定显著性水平 α 和样本容量 n
3. 确定检验统计量和拒绝域的形式
4. 根据 \(P(refuse\ H_0\ when\ it's\ truth) \le \alpha\)
5. 根据样本的观测值确定P是否落于拒绝域，从而接受或拒绝H0

上面的步骤中，值得一提的是：

• 第一步中，原假设通常用两种情况。例如:
  • 假设H0为 x = μ，则拒绝域是"!="，即为两侧，称之为 双边假设检验
  • 假设H0为 x <= μ 或 x >= μ， 则拒绝域为">"或"<"，即为单侧，称之 为 单边假设检验
• 第三步中，检验统计量和拒绝域将会在后面作为重点详细讨论。
• 第四步中，"refuse H0 when it's true"即为“弃真”，与之对应的为“取伪”， 都是针对H0而言。也就是说：
  • 弃真是说，当H0是真的时候，我们却拒绝了该假设。弃真也称为第I类错误。
  • 取伪是说，当H0是假的时候，我们却接受了该假设。取伪也称为第II类错误。

  弃真和取伪是相互对立的，我们尽量避免弃真时就会增加取伪出现的概率。在 显著性检验中，我们主要考虑和控制弃真的概率，不考虑取伪的概率。这也就 是为什么在第四步给出的不等式中，左侧的概率是弃真的概率，而右侧是给出 的显著性水平！

• 第五步中，通过第四部我们可以确定接受或拒绝H0的阀值，而在第五步中，我 们可以根据样本的观测值来计算出某个统计量，然后判断该统计量和阀值的大 小，以接受或拒绝H0

z检验用于针对均值的检验，使用前提:

• 正态总体
• 已知方差

检验统计量:

检验对象	统计量
单个正态总体的均值	$$ Z = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt(n)} $$
2个正态总的均值差	$$ Z = \frac{\overline{X} - \overline{Y} - \delta}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}} $$

拒绝域:

原假设	拒绝域	备注
$$ \mu > \mu_0 \ 或\ \mu_1 - \mu_2 > \sigma $$	$$ z \ge z_\alpha $$
$$ \mu < \mu_0 \ 或\ \mu_1 - \mu_2 < \sigma $$	$$ z \le -z_\alpha $$
$$ \mu \ne \mu_0 \ 或\ \mu_1 - \mu_2 \ne \sigma $$	$$ abs(z) \ge z_{\alpha/2} $$

t检验用于针对均值的检验，使用前提：

• 正态总体

可以看到，t检验和z检验的区别在于 是否已知方差 。事实上，我们可以将t检验看作z检验的变体，一种更“泛化”的检验形式。 在下面的统计量中，你将防线，t检验和z检验及其相似，不同点在于方差采用了估计量。

检验统计量:

检验对象	统计量
单个正态总体的均值	$$ t = \frac{\overline{X} - \mu_0}{S / \sqrt(n)} $$
2个正态总的均值差	$$ t = \frac{\overline{X} - \overline{Y} - \delta}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} $$ $$ S_w = \frac{(n_1 - 1)S_1^2 + (n_2 - 1)S_2^2}{n_1 + n_2 + 2}$$
成对数据	$$ t = \frac{\overline{D} - 0}{S_D / \sqrt(n)} $$

拒绝域:

原假设	拒绝域	备注
$$ \mu < \mu_0 \ 或\ \mu_1 - \mu_2 < \sigma $$	$$ t \ge t_\alpha(n-1) 或 t \ge t_\alpha(n_1 + n_2 + -1)$$	对于成对数据，原假设为单个正态的变种： \(\mu_D < 0\)
$$ \mu > \mu_0 \ 或\ \mu_1 - \mu_2 > \sigma $$	$$ t \le -t_\alpha(n-1) 或 t \le t_\alpha(n_1 + n_2 + -1)$$	成对数据: \(\mu_D > 0\)
$$ \mu \ne \mu_0 \ 或\ \mu_1 - \mu_2 \ne \sigma $$	$$ abs(t) \ge t_{\alpha/2}(n-1) 或 abs(t) \ge t_{\alpha/2}(n_1 + n_2 + -1) $$	成对数据: \(\mu_D \ne 0\)

成对数据与单个正态总体检验的关系: 可以看到，对于成对数据的（均值差的）检验，无论从统计量还是拒绝域来看，都与单个正态总体的均值检验极其相似。为什么呢？ 我们可以这样思考，对于成对数据的检验，我们认为两个值的差值为正态分布，但我们不知道方差究竟有多大。因此从这个角度上说，成对数据对于均值差的检验，即为对正态总体的均值检验的变种。

检验统计量:

检验对象	统计量
单个样本的方差	$$ \chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} $$
样本分布

拒绝域:

原假设	拒绝域	备注
$$ \sigma^2 \le \sigma_0^2 $$	$$ \chi^2 \ge \chi_\alpha^2(n-1) $$
$$ \sigma^2 \ge \sigma_0^2 $$	$$ \chi^2 \le \chi_{1-\alpha}^2(n-1) $$
$$ \sigma^2 = \sigma_0^2 $$	$$ \chi^2 \ge \chi_{\alpha/2}^2(n-1) 或 \chi^2 \le \chi_{1 - \alpha/2}^2(n-1)$$

检验对象	统计量
两个样本的方差大小	$$ F = \frac{S_1^2}{S_2^2} $$

拒绝域:

原假设	拒绝域	备注
$$ \sigma^2 \le \sigma_0^2 $$	$$ F \ge F_\alpha(n_1 -1, n_2 - 1) $$
$$ \sigma^2 \ge \sigma_0^2 $$	$$ F \ge F_{1-\alpha}(n_1 -1, n_2 - 1) $$
$$ \sigma^2 = \sigma_0^2 $$	$$ F \ge F_{\alpha/2}(n_1 -1, n_2 - 1) 或 F \ge F_{1-\alpha/2}(n_1 -1, n_2 - 1) $$

偏度峰度检验是用于检验样本是否为正态总体的较好办法，尽管 $ χ²$检验也可以用作样本正态性的检验，但是卡方检验较容易犯第二类错误(取伪)，而偏度峰度检验更为有效。